Martín Rodríguez se distingue par son aptitude à associer rapidité, technique, vision du jeu et sens du but. À 12 ans, il a été refusé par l'Universidad de Chile à cause de son petit gabarit. Il a rejoint Huachipato, où il a été formé au poste d'ailier gauche. Il y a également appris à évoluer dans l'entrejeu ou en retrait, et même à droite. Lancé en première division en 2011 à 16 ans, il a remporté le championnat en 2012. L'année suivante lui a été moins favorable : écarté de la sélection pour le championnat sud-américain des moins de 20 ans, il a en outre manqué Turquie 2013 pour cause de blessures.

Jorge Sampaoli l'a retenu pour les premiers amicaux disputés dans la foulée de la Coupe du Monde de la FIFA, Brésil 2014™. Il a fait ses débuts face à Haïti en septembre, mais n'a plus été convoqué par la suite. Il s'était déjà fait sa place à Colo Colo quand Juan Pizzi l'a appelé dans le cadre des matches de qualification pour Russie 2018 de novembre 2016. S'il est resté sur le banc, il a maintenu son niveau de jeu à Cruz Azul en 2017 et aujourd'hui, il fait ses valises pour la Russie, où il compte bien engranger de l'expérience.